La prima cosa che, normalmente, può venire in mente quando sentiamo parlare di un satellite artificiale, è l’uso che se ne può fare nell’ambito delle comunicazioni o per l’astronomia ; ma da qualche tempo orbita intorno alla Terra anche il TOPEX-POSEIDON , un satellite per rilevazioni geofisiche, il cui scopo principale è quello di effettuare misurazioni per la valutazione delle onde lunghe in oceano. Queste ultime sono da intendersi come onde la cui estensione in lunghezza è dell’ordine di mille chilometri mentre la loro altezza è di circa un metro.
Il satellite, nato da una collaborazione tra il CNRS (Francia) e la NASA (U.S.A.), è in orbita da poco più di quattro anni e durante tale periodo ha fatto una scansione completa di tutta la superficie terrestre. Fu lanciato dai pressi dell’equatore per sfruttare al meglio la velocità di rotazione terrestre, ed attualmente viaggia ad una velocità di 8 Km/s (28800 Km/h) ; durante il suo moto effettua dieci misurazioni al secondo mediante due altimetri molto precisi il cui scarto su ogni rilevazione è di soli 3 centimetri. Il satellite dispone di strumenti per cui dopo dieci misurazioni viene effettuata una media dei valori rilevati, in tal modo si ottiene un unico valore al secondo, il che equivale ad una misura ogni otto chilometri. Per quest’ultimo dato, risulta quindi evidente che le misurazioni del TOPEX-POSEIDON sono mirate alle rilevazioni di onde non più corte di 8 Km.
Volendo scendere nei dettagli, è inoltre importante specificare che l’orbita del satellite viene deviata di circa 2-3 gradi ad ogni sua rivoluzione intorno alla Terra, in modo tale che l’insieme delle sue orbite sia assimilabile ad una griglia che avvolge il geoide come un filo il gomitolo. Lo spostamento di 2-3 gradi, tra la traiettoria di un’orbita e la successiva, si traduce sulla superficie della Terra in uno sfasamento di 300 Km tra le varie traiettorie. A tutt’oggi, comunque, è il metodo più preciso per effettuare misurazioni geofisiche per mezzo di un satellite.
Il metodo utilizzato dal TOPEX-POSEIDON per effettuare l’elaborazione delle rilevazioni, è quello di ottenere una curva data dall’intersezione di un piano con la superficie dell’oceano ; tali dati (in forma numerica o di rappresentazioni grafiche), sono poi sfruttati per valutare l’effettiva dimensione del moto ondoso che fino a qualche anno fa era valutata solo teoricamente.
In particolare i dati raccolti ed elaborati dal satellite vengono utilizzati per simulare la superficie dell’oceano e paragonarla a quella ottenuta in modo teorico.
Nello specifico, le rilevazioni del satellite, in questi ultimi anni hanno fornito dati sul grado di frattalità dell’oceano, dimostrando che il grado di caoticità dell’oceano è prossimo a quello massimo, il che determina una dimensione frattale (la dimensione frattale massima tende a 2 per una curva e a 3 per una superficie).
Ma Cosa significa che l’oceano ha una dimensione frattale ? E cosa si intende per caos ?
Per comprendere il significato di tutto ciò prendiamo in considerazione alcune nozioni teoriche fondamentali, senza per questo doversi addentrare nella matematica pura.
Come già accennato, le cosiddette onde lunghe, sono onde la cui estensione in lunghezza è dell’ordine di mille di chilometri, mentre la loro altezza è dell’ordine del metro. In base a tali condizioni è dunque possibile ritenere l’altezza trascurabile rispetto alla lunghezza dell’onda e considerare quindi il moto in oceano, come se avvenisse su due sole dimensioni anziché tre.
Se a questo punto si volessero analizzare i motivi che inducono un moto nei fluidi geofisici ed in particolare nell’oceano, si possono considerare come determinanti i seguenti fattori :
Temperatura e densità del fluido oceanico determinano una sorta di stratificazione dello stesso ; si costituiscono quindi zone superficiali con una bassa densità ed un’alta temperatura se paragonate a quelle più profonde meno dense e più fredde. Ciò fa sì che si creino delle correnti che si estendono dalle zone più calde del globo (equatore) a quelle più fredde (poli). Durante questo spostamento le correnti calde, per effetto dell’evaporazione subiscono un aumento della salinità, e quindi della densità, che insieme alla diminuzione della temperatura le farà sprofondare. In tal modo, in profondità si hanno correnti di acque più fredde e più dense che si spostano verso le zone più calde dove per l’aumento della temperatura e diminuzione della densità riemergono, rimettendosi in circolo.
Il fondale e le coste rivestono il ruolo di forzanti per il moto delle acque poiché, come ovvio, ne limitano la traiettoria.
L’accelerazione di Coriolis è fondamentale per la formazione dei vortici in tutti i fluidi terrestri. Per intendersi, se si considera che la rotazione terrestre avviene con velocità angolare
W ed una particella di fluido si muove con velocità u, allora tale particella subirà l’effetto di un’accelerazione determinata dalla relazione :
ac
=2W ´ u(dove le variabile scritte in grassetto sono da intendersi come vettori)
Noto effetto, prodotto da tale accelerazione, sono quindi gli Alisei di Nord-Ovest e gli Alisei di Sud-Est che si formano in corrispondenza dell’equatore, ma anche tutti i vortici, sia in atmosfera che in oceano. Si può anche citare ad esempio, ciò che accade quando togliamo il tappo da un lavandino pieno d’acqua : osserviamo la formazione di un vortice che girerà in senso orario se ci troviamo nell’emisfero australe ed, antiorario se ci troviamo nell’emisfero boreale. Tutto ciò è appunto determinato dalla presenza dell’accelerazione di Coriolis.
Il vento è la forzante che determina lo svilupparsi di onde lunghe. Per questo motivo si dice che si tratta di onde reali non localizzate ; non esiste infatti una sorgente localizzata ma c’è il vento che rappresenta una sorgente estesa in grado di agire per parecchi chilometri quadrati generando fenomeni turbolenti e quindi caotici.
Dal punto di vista matematico, un fluido turbolento, come il caso dell’oceano, è caratterizzato da uno spettro di potenza e da fasi casuali.
Tenendo presente che una generica onda è esprimibile come :
A cos(kx-
w t+f )
il fatto che le
f siano fasi casuali significa che, considerandole in funzione del numero d’onda k, la densità di probabilità che assumano un valore compreso tra gli angoli 0 e 2p risulta uniformemente distribuita, come graficato in fig.1.Per spettro di potenza si intende il contributo dato da ciascun numero d’onda al segnale ; nel caso di fluidi turbolenti esso segue un andamento mostrato in fig.2a-b, del tipo k
-g , dove l’esponente g può assumere diversi valori a seconda che si consideri un fluido in tre o due dimensioni (3D ;2D), anche se ancora oggi non sono noti i motivi di tale andamento. Di particolare rilievo sono i casi a due e tre dimensioni dove g vale rispettivamente 3 e 5/3 (Kolmogorov 1942). Il significato fisico da attribuire allo spettro di potenza è quello di flusso di energia nello spazio delle frequenze o, equivalentemente, nello spazio dei numeri d’onda, essendo i due parametri dello stesso grado se si assume :w
= w (k) = cok = 2p n
con
n = frequenza, w (k) = relazione di dispersione , k = numero d’onda,co = velocità di fase.
Considerando il moto turbolento in tre dimensioni, si verificherà un passaggio di energia, senza essere praticamente dissipata, dai grandi vortici a quelli piccoli (ovvero dalle piccole alle grandi frequenze o dai piccoli ai grandi numeri d’onda) ed infine trasformata in radiazione elettromagnetica ("calore").
Bidimensionalmente invece, si ha un passaggio da un alto numero d’onda ad uno basso senza dispersione di radiazione elettromagnetica ; il significato fisico può essere compreso immaginando ciò che accade in un bacino d’acqua quando, per mezzo di una forzante (ad esempio, agitando l’acqua con un bastone), si crea un certo numero di vortici (alto numero d’onda) che, al cessare dell’azione della forzante, cominceranno ad inglobarsi l’un l’altro. Alla fine sarà osservabile un solo vortice che poco alla volta andrà estinguendosi (basso numero d’onda). Lo stesso esempio, per analogia può essere riportato al caso atmosferico dove ad esempio è più utile immaginare cosa accade quando agitiamo con la mano del fumo.
Nel caso di turbolenza in due dimensioni si ha quindi una situazione molto complessa e caotica.
La generazione del caos la si deve intendere dovuta al cambiamento dell’hamiltoniana nel tempo, che nel caso di sistemi conservativi equivale ad una variazione di energia totale nel tempo. È solo nel tempo quindi, che si ha lo svilupparsi del caos che, in pratica, impedisce le eventuali previsioni sul moto del fluido ; un esempio lampante sono le previsioni meteorologiche per le quali, come noto, non è possibile avere la certezza sul futuro del tempo.
Nel 1960, Mandelbrot asserì che se l’andamento dello spettro ha una legge di potenza e fasi random, allora si ha frattalità. Ciò porta a concludere che il grado di complessità e di caoticità dell’oceano è anche legato alla frattalità.
Per comprendere meglio cosa significa una dimensione frattale si pensi ad esempio, che quando si effettua una misura di lunghezza si tratta un caso ad una dimensione, mentre quando si misura una superficie si considerano due dimensioni ed ancora, nel caso di un volume si trattano le tre dimensioni. È quindi difficile pensare che una lunghezza sia misurabile in una dimensione diversa da uno o una superficie in una dimensione diversa da due, ed ancor più complesso diventa il caso di dimensioni non intere, ma ciò è una questione puramente matematica difficilmente immaginabile.
Trascurando la lunga e forse noiosa trattazione matematica, si sa che la superficie oceanica è esprimibile secondo Fourier come segue:
y
(x,y,t)=S S Cn,m cos(k· x-w n,mt+f )(sommatorie tra
± infinito sugli indici n ed m )con
Cn,m=[2P(kn,m)
D knD km]1/2
dove la funzione P(kn,m) = k-
g è lo spettro di potenza con kn e km compresi tra 1/500 e 1/8.Si consideri inoltre che si ha
w n,m = cokn,m nel caso in cui si analizza la variazione della superficie d’onda e, w =0 nel caso di superficie statica, ovvero di superficie "congelata" all’istante t=0.Nelle figure che seguono sono riportati i risultati di una simulazione condotta con un personal computer 486 da 100Mhz ed un software specifico come ad esempio il MathCad 6.0 Plus. Le onde simulate in questo caso sono da considerarsi lunghe circa 600 Km ed alte circa 1 m.
(ordine grafici da inserire)
g
=8
g
=8s
g
=6
g
=6s
g
=3
g
=3s
g
=2.6
g
=2.6s
Osservando i grafici si nota che il grado di frattalità aumenta passando da uno spettro di potenza con g = 8 (caso non reale) ad uno con g = 2.6 (caso dell’oceano) si noti inoltre come, pur trattandosi della stessa onda, questa si presenta molto più frastagliata. Infatti per g =8 e g =6 è possibile osservare un andamento abbastanza regolare anche se per g =6 è già evidente un consistente aumento del numero dei massimi. Occorre evidenziare il fatto che il range di valori utilizzato per i diversi grafici varia a seconda del valore di g in quanto, proprio a causa dell’aumento dei massimi, è difficile visualizzare chiaramente l’andamento della superficie d’onda ( per g =3 e g =2.6 con un range tra 0 e 256 Km il grafico risulterebbe molto confuso) . Per g =3 (turbolenza in 2D) è chiaro che l’apporto di un ampio range di numeri d’onda determina un grafico del tutto differente rispetto ai primi due ; questo spettro di potenza caratterizza, almeno a livello teorico, i fenomeni turbolenti in due dimensioni come nel caso di onde lunghe, anche se nel caso specifico dell’oceano si ha g =2.6 come risulta dallo studio delle rilevazioni fatte dal satellite TOPEX-POSEIDON. La superficie simulata con i dati teorici per questo valore di g rispecchia verosimilmente la serie spaziale ricavata dai dati del satellite (Osservando i grafici si può pensare che non abbiano molto senso, soprattutto quando la superficie diventa molto rugosa, ma si tenga sempre presente che si tratta di onde molto lunghe rispetto alla loro altezza e che quindi vengono riportate con scale tali da permetterne la visualizzazione.).
Attualmente sono in corso ricerche scientifiche in tutto il mondo, volte ad una sempre maggiore "comprensione" dei dati provenienti dal satellite, per poter un giorno simulare in tutto e per tutto l’andamento dei fluidi geofisici con conseguente miglioramento delle previsioni meteorologiche e comprensione dei fenomeni naturali.
(Luigi Panarace, in collaborazione con Claudio Pavan)